Question

【題目】如圖，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設直線與（Ⅰ）中軌跡相交于，兩點，直線，，的斜率分別為，，（其中），的面積為，以，為直徑的圓的面積分別為，，若，，恰好構成等比數列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，根據題意，，可得，故動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓．解出即可；（2）設直線的方程為，，．與橢圓的方程聯立可得，利用根與系數的關系及其，，構成等比數列，可得，解得，．利用，解得，且．利用

，可得為定值．代入利用基本不等式的性質即可得出的取值范圍．

試題解析：（1）連接，根據題意，，則，

故動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.

設其方程為，可知，，則，

∴點的軌跡的方程為.

（2）設直線的方程為，，.

聯立，化為，

∴，，.

∵，，構成等比數列，∴，化為，

∴，解得.∵，∴.

此時，解得.

又由、、三點不共線得，從而.

故，

又，則

為定值.

∴，當且僅當時等號成立.

綜上：.