Question

【題目】已知圓：，直線過原點.

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓交于，兩點，當的面積最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或

【解析】

（1）分類討論：當直線的斜率不存在時，；當直線的斜率存在時，利用點斜式求出直線方程，再利用點到直線的距離公式使圓心到直線的距離等于半徑求出斜率即可.

（2）根據題意設直線方程為，圓心到直線的距離為，利用三角形的面積公式可得時的面積最大，從而可得圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式即可求解.

（1）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

此時直線與圓相切，

∴符合題意：

當直線的斜率存在時，設的斜率為，

則直線方程為，即.

則，解得，

即直線的方程為或；

（2）∵直線與圓交于，兩點，∴直線的斜率存在，

設直線方程為，圓心到直線的距離為，

由于，

∴當取最大值1，即時的面積最大.

此時為等腰直角三角形，，

∴，解得或.

故直線的方程為：或.