Question

【題目】命題p：關于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，命題q：已知二次函數f（x）=x2﹣mx+2滿足 ，且當x∈[0，a]時，最大值是2，若命題“p且q”為假，“p或q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：對于命題p：∵關于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，
∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0，解得 ，
由已知得二次函數f（x）=x2﹣mx+2的對稱軸為 ，
即 ，∴m=3，f（x）=x2﹣3x+2，
當x∈[0，a]時，最大值是2，由對稱性知q：0＜a≤3．
由命題“p且q”為假，“p或q”為真，可知：p，q恰一真一假．
當p真q假時， ，∴a≤﹣1或a＞3，
當p假q真時， ，∴ ，
綜上可得，
【解析】對于命題p：由關于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范圍．由已知得二次函數f（x）=x2﹣mx+2的對稱軸為 ，可得m，可得f（x）=x2﹣3x+2，當x∈[0，a]時，最大值是2，由對稱性知a的取值范圍．由命題“p且q”為假，“p或q”為真，可知：p，q恰一真一假．
【考點精析】認真審題，首先需要了解復合命題的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真)．