Question

求頂點為坐標原點O、對稱軸為x軸，且經過點A（-1，1）的拋物線的方程，寫出該拋物線的焦點坐標和準線方程，并求直線y=2x+3截該拋物線的弦長．

Answer 1

分析：由題意可設拋物線的方程為y²=-2px（p＞0）．把點A（-1，1）代入即可得到p，進而得到焦點坐標和準線方程．
設直線y=2x+3與拋物線相較于等M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線方程聯立即可得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得出．

解答：解：由題意可設拋物線的方程為y²=-2px（p＞0）．
把點A（-1，1）代入得1=2p，∴p=

1

2

，

p

2

=

1

4

．
∴該拋物線的方程為y²=-x，焦點坐標為(-

1

4

，0)和準線方程x=

1

4

．
設直線y=2x+3與拋物線相較于等M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立

y=2x+3 y2=-x

，化為4x²+13x+9=0．
∴x1+x2=-

13

4

．
∴|MN|=p-（x₁+x₂）=

1

2

-(-

13

2

)=7．

點評：熟練掌握拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數、弦長公式扥公式解題的關鍵．