Question

已知函數.
(1)當時,求的單調區間；
(2)若函數在上無零點,求的最小值。

Answer 1

(1) 的單調遞減區間為(0，2)，單調遞增區間為(2，).
(2函數在上無零點，則的最小值為.

試題分析：(1)當時, ()，則.    2分
由得；由得.                4分
故的單調遞減區間為(0，2)，單調遞增區間為(2，).        5分
(2)要使函數在上無零點,只要對任意,無解.
即對，無解.       7分
令，，則，  9分
再令，，則.  11分
故在為減函數，于是，
從而，于是在上為增函數，
所以，                 13分
故要使無解，只要.
綜上可知，若函數在上無零點，則的最小值為.   14分
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。采用“表解法”，更加清晰明了。涉及函數零點的討論問題，往往要轉化成研究函數圖象的大致形態，明確圖象與x軸交點情況。本題涉及對數函數，要注意函數的定義域。