【題目】已知函數f(x)=(x﹣1)ex+ax2有兩個零點. (Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)設x1 , x2是f(x)的兩個零點,證明x1+x2<0.
【答案】解:(Ⅰ)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a) (i)當a>0時,
函數f(x)在(﹣∞,0)單調遞減,在(0,+∞)單調遞增.
∵f(0)=﹣1<0,f(2)=e2+4a>0,
取實數b滿足b<﹣2且b<lna,則f(b)>a(b﹣1)+ab2=a(b2+b﹣1)>a(4﹣2﹣1)>0,
所以f(x)有兩個零點
(ii)若a=0,則f(x)=(x﹣1)ex , 故f(x)只有一個零點
(iii)若a<0,由(I)知,
當 ,則f(x)在(0,+∞)單調遞增,又當x≤0時,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點;
當 ,則函數在(ln(﹣2a),+∞)單調遞增;在(0,ln(﹣2a))單調遞減.又當x≤1時,f(x)<0,故不存在兩個零點.
綜上所述,a的取值范圍是(0,+∞).
證明:(Ⅱ)不妨設x1<x2 .
由(Ⅰ)知x1∈(﹣∞,0),x2∈(0,+∞),﹣x2∈(﹣∞,0),則x1+x2<0等價于x1<﹣x2 .
因為函數f(x)在(﹣∞,0)單調遞減,
所以x1<﹣x2等價于f(x1)>f(﹣x2),即證明f(﹣x2)<0.(8分)
由 ,得
,
,
令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex , x∈(0,+∞).
g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,g(x)在(0,+∞)單調遞減,又g(0)=0,所以g(x)<0,
所以f(﹣x2)<0,即原命題成立
【解析】(Ⅰ)求出f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),通過(i)當a>0時,判斷函數的單調性,判斷零點個數;(ii)若a=0,判斷f(x)只有一個零點.(iii)若a<0,利用單調性判斷零點個數即可.(Ⅱ)不妨設x1<x2 . 推出x1<﹣x2 . 利用函數f(x)在(﹣∞,0)單調遞減,證明f(﹣x2)<0.令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex , x∈(0,+∞).利用g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,轉化證明即可.
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數的極值的方法是:(1)如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極大值(2)如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極小值.
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【題目】設函數 ,則下列結論正確的是( )
①f(x)的圖象關于直線 對稱
②f(x)的圖象關于點 對稱
③f(x)的圖象向左平移 個單位,得到一個偶函數的圖象
④f(x)的最小正周期為π,且在 上為增函數.
A.③
B.①③
C.②④
D.①③④
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【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,左右焦點分別為F1 , F2 , 且|F1F2|=2,點(1, )在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且△AF2B的面積為 ,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.
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【題目】已知函數f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)= x3﹣
x2+ax﹣
(a>1)若對任意的x1∈[0,4],總存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),則實數a的取值范圍為( )
A.(1, ]??
B.[9,+∞)??
C.(1, ]∪[9,+∞)??
D.[ ,
]∪[9,+∞)
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【題目】已知函數f(x)=|x+m|+|2x﹣1|(m∈R) (I)當m=﹣1時,求不等式f(x)≤2的解集;
(II)設關于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集為A,且[ ,2]A,求實數m的取值范圍.
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【題目】已知Sn是等比數列{an}的前n項和,S3 , S9 , S6成等差數列. (Ⅰ)求證:a2 , a8 , a5成等差數列;
(Ⅱ)若等差數列{bn}滿足b1=a2=1,b3=a5 , 求數列{an3bn}的前n項和Tn .
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【題目】給出以下四個結論: ①函數 的對稱中心是(﹣1,2);
②若關于x的方程 沒有實數根,則k的取值范圍是k≥2;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的充分不必要條件;
④若 的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后為奇函數,則φ最小值是
.
其中正確的結論是 .
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