Question

【題目】設,函數.

（1）求函數的的單調遞增區間;

（2）設,問是否存在極值, 若存在, 請求出極值; 若不存在, 請說明理由;

（3）設是函數圖象上任意不同的兩點, 線段的中點為,直線的斜率為.證明:.

Answer 1

【答案】（1）當時, ；當時, （2）當時, 無極值; 當時, 有極大值無極小值.（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導函數，再在定義區間內求導函數零點：當時, 恒成立, 當時, ，最后列表分析區間導數符號，確定單調增區間（2）先求導函數，再在定義區間內求導函數零點：當時, 恒有,當時, 最后列表分析區間導數符號，確定極值，（3）先分析不等式：即，再構造對應函數：因為，所以設，即只要為增函數

試題解析：在區間上，.

（1）. ① 當時, 恒成立,的單調遞增區間為②當時, 令,即,得的單調遞增區間為.

綜上所述: 當時, 的單調遞增區間為;當時,的單調遞增區間為.

（2）,得,當時, 恒有,

在上為單調遞增函數, 故 在上無極值; 當時, 令 ,得單調遞增, 單調遞減, ，無極小值. 綜上所述: 當時, 無極值; 當時, 有極大值無極小值.

（3）證明:, 又,要證：，即證，不妨設，即證，即證，設，即證，也就是要證，其中，事實上：設，則，所以在上單調遞增，因此，即結論成立.