Question

已知函數.

(I)若,求函數的單調區間；

(Ⅱ)求證:

(Ⅲ)若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的,函數是的導函數)在區間上總不是單調函數,求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(I) 的單調增區間為,減區間為  ；(Ⅱ) 證明詳見解析；(Ⅲ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)先求導數，然后求導數大于或小于零的區間，即得原函數的單調區間；(Ⅱ)由(Ⅰ) 可知 當時,即對一切成立，可得，然后疊乘即可. (Ⅲ)求出，則，求出，，再求出，則，由于:對于任意的,恒成立,，所以，解出m即可.

試題解析：解：(Ⅰ)當時, ，解得；解得[的單調增區間為,減區間為 

(Ⅱ)證明如下: 由(Ⅰ)可知 當時,即,

∴對一切成立 

∵,則有,∴ 

 

(Ⅲ) ∵∴得, ,∴  

∵在區間上總不是單調函數,且∴ 

由題意知:對于任意的,恒成立, 所以,,∴.

考點：1.函數的導數和導數的性質；2.不等式的證明；3.導數性質的應用.