Question

已知數{a_n}的各項均為正整數，且滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2，a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推測{a_n}的通項公式（不要求證明）；
（2）設，是否存在最大的整數m，使得對任意正整數n，均有若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別把n=5，4，3，2代入a_n+1=a_n²-2na_n+2，分別求出a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9，從而猜想：a_n=2n+1．
（2）=
而對于任意n∈N^*=．數列T_n是遞增數列，T_n的最小值為T₁₌，由此可求出存在最大的整數7，使得對任意正整數n，均有T_n＞成立．
解答：解：（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，解得a₄=9或a₄=-1（舍去）
由a₄=9，得9=a₃²-6a₃+2，解得a₃=7或a₃=-1（舍去）
由a₃=7，得7=a₂²-4a₂+2，解得a₂=5或a₂=-1（舍去）
由a₂=5，得5=a₁²-2a₁+2，解得a₁=3或a₁=-1（舍去）∴a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9
猜想：a_n=2n+1

（2）==T_n
=c₁+c₂++c_n
=
=

而對于任意n∈N^*=
∴數列T_n是遞增數列
∴T_n的最小值為T_1⁼
要使T_n＞對任意n∈N^•總成立，只要T₁＞即＜，∴m＜8
又m∈N^•，因此存在最大的整數7，使得對任意正整數n，均有T_n＞成立
點評：本題考查數列和不等式的綜合應用題，解題時要注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．