Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分別為AB，PC中點.

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】證明：（1）方法一：取線段PD的中點M，連結FM，AM．

因為F為PC的中點，所以FM∥CD，且FM＝CD．

因為四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，

所以EA∥CD，且EA＝CD．

所以FM∥EA，且FM＝EA．

所以四邊形AEFM為平行四邊形．

所以EF∥AM． ……………………… 5分

又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD． ………7分

方法二：連結CE并延長交DA的延長線于N，連結PN．

因為四邊形ABCD為矩形，所以AD∥BC，

所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

又F為PC的中點，所以EF∥NP．………… 5分

又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD． ……………7分

方法三：取CD的中點Q，連結FQ，EQ．

在矩形ABCD中，E為AB的中點，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．

所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ∥AD．

又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ∥平面PAD． ………………2分

因為Q，F分別為CD，CP的中點，所以FQ∥PD．

又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ∥平面PAD．

又FQ，EQ平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分

因為EF平面EQF，所以EF∥平面PAD． ……………………………… 7分

（2）設AC，DE相交于G．

在矩形ABCD中，因為AB＝BC，E為AB的中點.所以＝＝．

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．

由△DGC的內角和為180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． ……………………… 10分

因為平面PAC⊥平面ABCD 因為DE平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，

又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． ………………………… 14分

【解析】略