Question

已知函數在與時都取得極值．若對，不等式恒成立，則的取值范圍是(   )

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

選C
分析：求出f′（x），因為函數在與x=1時都取得極值，所以得到f′（-）=0，且f′（1）=0聯立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），根據函數的單調性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范圍．
解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f’（x）=3x²+2ax+b
由，解得，．
代回原函數得，f（x）=x³-x²-2x+c，f’（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數f（x）的單調區間如下表：

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數f（x）的遞增區間是（-1，-）和（1，2]，遞減區間是（-，1）．
當x=-時，f（x）=+c為極大值，而f（2）=2+c，f（-1）=+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜2c，對x∈[-1，2]恒成立，須且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故選C．