Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，在平面上的射影為，且在上，且， ，是的中點，四面體的體積為．

(Ⅰ)求異面直線與所成的角余弦值；

(Ⅱ)求點到平面的距離；

(Ⅲ)若點是棱上一點，且，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)先利用等體積法求出的長，在平面內， 過點作交于，連接，則(或其補角)就是異面直線與所成的角，在中利用余弦定理求出此角即可；(Ⅱ)在平面內，過作，交延長線于，則平面推得的長就是點到平面的距離，在利用邊角關系求出長； (Ⅲ)在平面內，過作，為垂足，連接，先證明，然后利用三角形相似對應邊成比例建立等量關系即可．

(I)由已知，

∴．

在平面內，過點作交于，連接，則(或其補角)就是異面直線與所成的角.

在中，，

由余弦定理得， ，

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

(II)∵平面，平面∴平面平面，

在平面內，過作，交延長線于，則平面∴的長就是點到平面的距離．

∵．

在，，∴點到平面的距離為．

(III)在平面內，過作，為垂足，連接，

又因為，

∴平面，平面,∴．

由平面平面，∴平面∴；

由得： ．

∵，∴由可得．