Question

已知函數f(x)=

3

sinxcosx+sin2x-

1

2

．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）若將f（x）的函數圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

倍，得到函數g（x）的圖象，求g（x）的解析式；當x∈[0，

π

4

]時，求出g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數的倍角公式和兩角和和公式對函數進行化簡得y=sin（2x-

π

6

），然后求出函數的周期以及函數的單調增區間．
（2）利用左加右減上加下減的原則對函數的圖象進行平移，然后求出函數的解析式，通過x的范圍求出相位的范圍利用正弦函數的值域求出函數的值域．

解答：解：y=

3

sinxcosx+sin²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
（1）函數f（x）的最小正周期：

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

 k∈Z，
函數單調遞增區間[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（2）將f（x）的函數圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

倍，得到函數g（x）的圖象，
∴g（x）=的解析式g（x）=sin（4x-

π

6

）．
∵x∈[0，

π

4

]，
∴4x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（4x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
g（x）的值域：[-

1

2

，1]．

點評：本題主要二倍角公式的應用，兩角和與差的三角函數，正弦函數的周期，單調增區間的求法，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬中檔題．