Question

【題目】設a，b∈R，關于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四個實根構成以q為公比的等比數列，若q∈[，2]，則ab的取值范圍為______．

Answer 1

【答案】.

【解析】

利用等比數列的性質確定方程的根，由韋達定理表示出ab，再利用換元法轉化為二次函數，根據q的范圍和二次函數的性質，確定ab的最值即可求出ab的取值范圍．

解：設方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4個實數根依次為m，mq，mq2，mq3，

由等比數列性質，不妨設m，mq3為x2﹣ax+1＝0的兩個實數根，則mq，mq2為方程x2﹣bx+1＝0的兩個根，

由韋達定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，則

故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2）

（1+q3）（q+q2），

設t，則t2﹣2，

因為q∈[，2]，且t在[，1]上遞減，在（1，2]上遞增，

所以t∈[2，]，

則ab＝t2+t﹣2，

所以當t＝2時，ab取到最小值是4，

當t時，ab取到最大值是，

所以ab的取值范圍是：．