Question

【題目】已知函數.

（1）若函數有兩個極值點，試求實數的取值范圍；

（2）若且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求函數導數，有2個極值點轉化為方程有兩解，利用導數分析，得函數大致形狀，即可求解；

（2）不妨令，利用單調性知，構造函數，利用導數求其最小值即可得證.

（1）∵，

∴.

令，

函數有兩個極值點，即方程有兩個不相等的根，

顯然時，方程不成立，即不是方程的根，

所以原方程有兩個不相等的根轉化為有兩個不相等的根，

不妨令.

，

∴在，遞減，在遞增，，且時，.

∵方程有兩個不等根，

圖象與圖象有兩個不同交點，

∴只需滿足

即.

（2）不妨令，

∴在遞減.

，不妨令：，

∴.

令，

則，

由得，

由得，

∴在遞減，在遞增.

∴，

∴，

∴在遞增.

∴，

當且時，.