Question

設兩非零向量e₁和e₂不共線．
（1）如果=e₁+e₂，=2e₁+8e₂，=3（e₁-e₂），求證：A、B、D三點共線；
（2）試確定實數k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共線；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁與e₂的夾角為60°，試確定k的值，使ke₁+e₂與e₁+ke₂垂直．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明∥，再根據有公共點原理，證明三點共線
（2）ke₁+e₂和e₁+ke₂共線，運用實數λ，使得ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），即可求出
（3）運用向量數量積公式計算：由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，解出K的值
解答：解：（1）證明：=6（e₁+e₂）=6，
∴∥，與有公共點A．
∴A、B、D三點共線．
（2）∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共線，
∴存在λ使ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），
即（k-λ）e₁+（1-λk）e₂=0．
∵e₁與e₂為非零不共線向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．

（3）由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，
k|e₁|²+（k²+1）e₁•e₂+k|e₂|²=0，得
k×2²+（k²+1）×2×3×cos60°+k×3²=0
⇒4k+3k²+3+9k=0⇒3k²+13k+3=0，
∴k=．
點評：此題運用平面向量基本定理考查向量共線，垂直的概念，屬于綜合性概念考查題