Question

關于函數f（x）=cos⁴x-sin⁴x有下面有五個命題，其中真命題的序號是

①②

．①最小正周期是π；    ②向右平移

π

4

可以得到y=sin2x的圖象；③在[0，

π

2

]上是增函數； ④同一坐標系中，和函數y=x的圖象有三個公共點．

Answer 1

分析：把函數解析式利用平方差公式化簡后，根據同角三角函數間的基本關系及二倍角的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出函數最小正周期，即可對選項①作出判斷；
利用平移規律“左加右減”，對函數解析式進行變形，得到平移后函數解析式，即可作出判斷；
根據余弦函數的單調性，對已知的區間進行判斷，發現函數在此區間為減函數，本選項為假命題；
設出g（x）=f（x）-x，求出導函數g′（x），根據導函數的正負得到函數的單調性，根據單調性求出函數g（x）的最小值，即可得到原函數與y=x圖象交點的個數，進而作出判斷．

解答：解：f（x）=cos⁴x-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）
=cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，故選項①為真命題；
把f（x）=cos2x向右平移

π

4

后，
其解析式為y=cos2（x-

π

4

）=cos（2x-

π

2

）=cos（

π

2

-2x）=sin2x，故選項②為真命題；
∵0≤2x≤π，即0≤x≤

π

2

時，余弦函數cos2x為減函數，故選項③為假命題；
設g（x）=cos2x-x，求導得g′（x）=-2sin2x-1，
當2x∈[0，π]，即x∈[0，

π

2

]時，sin2x∈[0，1]，g′（x）＜0，函數g（x）單調減；
當2x∈[-π，0]，即x∈[-

π

2

，0]時，sin2x∈[-1，0]，g′（x）＞0，函數g（x）單調增，
故g（x）的最小值為g（0）=1，同一坐標系中，和函數y=x的圖象有一個公共點，故選項④為假命題，
則其中真命題的序號為①②．
故答案為：①②

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，余弦函數的單調性，利用導數研究函數的單調性及最值以及函數的平移規律，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的余弦函數是解本題的關鍵．