Question

【題目】某車間有50名工人，要完成150件產品的生產任務，每件產品由3個型零件和1個型零件配套組成，每個工人每小時能加工5個型零件或者3個型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數不再進行調整），每組加工同一種型號的零件.設加工型零件的工人數為名.

（1）設完成、型零件加工所需的時間分別為、小時，寫出與的解析式；

（2）當取何值時，完成全部生產任務的時間最短？

Answer 1

【答案】（1）（，且）；（，且）；（2）為了在最短時間內完成生產任務，應取32.

【解析】

（1）分別計算得到和，再計算定義域得到答案.

（2）根據和的大小關系得到，分別計算函數的最小值得到答案.

（1）生產150件產品，需加工型零件450個，

則完成型零件加工所需時間（，且）.

生產150件產品，需加工型零件150個，

則完成型零件加工所需時間（，且）.

（2）設完成全部生產任務所需時間為小時，則為與的較大者.

令，即，解得.

所以，當時，；當時，.

故.

當時，，故在上單調遞減，

則在上的最小值為（小時）；

當時，，故在上單調遞增，

則在上的最小值為（小時）；

∵，∴在上的最小值為.

∴.

為了在最短時間內完成生產任務，應取32.