Question

【題目】在如圖所示的五面體中， ， ， ，四邊形為正方形，平面平面．

（1）證明：在線段上存在一點，使得平面；

（2）求的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)2.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，由正方形的性質可證明四邊形為平行四邊形，故，由線面平行的判定定理可得平面，點就是符合條件的點；（2）由平面平面及可得平面，可得，在中，由余弦定理，得，由（1）得，根據勾股定理可得．

試題解析：（1）取的中點，連接；

因為， ，

，所以，又四邊形是正方形，所以， ，

故四邊形為平行四邊形，故，

因為平面， 平面，

所以平面．

（2）因為平面平面，四邊形為正方形，所以，

所以平面．

在中，因為，故，又，

所以由余弦定理，得，由（1）得

故．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質定理，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.