Question

【題目】已知函數， ，（其中， 為自然對數的底數， ……）.

（1）令，若對任意的恒成立，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，設為整數，且對于任意正整數， ，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）2

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，求出h（x）的解析式，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值，求出a的值即可；（2）得到1+x≤ex，令x=﹣（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），則0＜1﹣≤，得到累加，通過放大不等式，證明即可．

解析：

（1）因為，所以，

由對任意的恒成立，即，由，

（i）當時， ， 的單調遞增區間為，

所以時， ，所以不滿足題意.

(ii)當時，由，得

時， ， 時， ，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以的最小值為 .

設，所以，① 因為，令得，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以，②，由①②得，則.

（2）由（1）知，即，

令（， ）則，

所以，

所以

，

所以，又，所以的最小值為