Question

【題目】設，動圓C經過點，且被y軸截得的弦長為2p，記動圓圓心C的軌跡為E．

Ⅰ求軌跡E的方程；

Ⅱ求證：在軌跡E上存在點A，B，使得為坐標原點是以A為直角頂點的等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】Ⅰ ，． Ⅱ詳見解析。

【解析】

（I）通過被軸截得弦長和經過點，構造出圓心滿足的方程，整理可得軌跡方程；（II）通過假設點坐標以及，可求得直線的方程，將方程與軌跡聯立，可表示出點坐標；從而可表示出，再通過構造出函數，通過零點存在定理說明存在零點，從而得到存在，從而證得結論。

（I）設動圓圓心，半徑為r，

圓C過點，，

圓C被y軸截得的弦長為2p，，

由，得，化簡，得，，

軌跡E的方程為，．

（II）證明：設，，則OA的斜率，

，的斜率，

直線AB的方程為，

聯立直線AB與拋物線E的方程，得：

，解得，

，

，

記，，，，則，，

記，，

由題意，記，，

，，

根據零點存在定理，存在，使得，從而，

當滿足時，有，

此時是以A為直角頂點的等腰直角三角形，

在軌跡E上存在點A，B，使得為坐標原點是以A為直角頂點的等腰直角三角形