Question

【題目】已知圓的圓心為原點，且與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）點在直線上，過點引圓的兩條切線，切點為，求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由圓C與直線相切，得到圓心到直線的距離d=r，故利用點到直線的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點，寫出圓C的方程即可；（2）由PA，PB為圓O的兩條切線，根據切線的性質得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據90°圓周角所對的弦為直徑可得A，B在以OP為直徑的圓上，設出P的坐標為（8，b），由P和O的坐標，利用線段中點坐標公式求出OP中點坐標，即為以OP為直徑的圓的圓心坐標，利用兩點間的距離公式求出OP的長，即為半徑，寫出以OP為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項，得到弦AB所在直線的方程，可得出此直線方程過（2，0），得證

試題解析：（1）依題意得：圓的半徑，……………2分

所以圓的方程為。……………4分

（2）是圓的兩條切線，。

在以為直徑的圓上。……………6分

設點的坐標為，則線段的中點坐標為。

以為直徑的圓方程為……………8分

化簡得：

為兩圓的公共弦，

直線的方程為……………10分

所以直線恒過定點。……………12分