Question

【題目】已知數列滿足．

（Ⅰ）若數列是常數列，求的值；

（Ⅱ）當時，求證： ；

（Ⅲ）求最大的正數，使得對一切整數恒成立，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)1.

【解析】試題分析：(1) .

(2)由條件得,得，

又顯然有，所以與同號,而,所以即 .

(3)先由猜測. 然后用數學歸納法證明即可.

試題解析：(1)若數列是常數列,則, ；顯然,當時，有

(2)由條件得,得，

又因為,

兩式相減得顯然有，所以與同號,而,所以；

從而有

(3)因為，

所以.這說明，當時， 越來越大，不滿足，所以要使得對一切整數n恒成立,只可能. 下面證明當時, 恒成立；用數學歸納法證明:

當時, 顯然成立;假設當時成立，即,則當時, 成立，

由上可知對一切正整數恒成立.因此,正數的最大值是1.