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【題目】已知函數（其中為自然對數的底數），.

（Ⅰ）當時，求的最小值；

（Ⅱ）記，請證明下列結論：

①若，則對任意，有；

②若，則存在實數，使.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范圍，可得函數增區間， 求得 的范圍，可得函數的減區間,根據函數的單調性可求的最小值；（Ⅱ） 時，可證在上單調遞增，則對任意，有， 時，兩次求導， 在上單調遞減，則，可證存在實數，使.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，則.

當時， ，即在上單調遞減；

當時， ，即在上單調遞增.

故.

（Ⅱ），則.

①若，由（1）知，即，

于是 ，

所以在上單調遞增，則對任意，有；

②若，令.

則在上單調遞增，且，

故存在唯一的，使，

則當時， ，即在上單調遞減，

故，從而在上單調遞減，則，

即存在實數，使.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以下命題中，正確命題的序號是 ． ①函數y=tanx在定義域內是增函數；
②函數y=2sin（2x+ ）的圖象關于x= 成軸對稱；
③已知 =（3，4）， =﹣2，則向量 在向量 的方向上的投影是﹣
④如果函數f（x）=ax2﹣2x﹣3在區間（﹣∞，4）上是單調遞減的，則實數a的取值范圍是（0， ]．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設是由個有序實數構成的一個數組，記作，其中

稱為數組的“元”， 稱為的下標，如果數組中的每個“元”都是來自數組

中不同下標的“元”，則稱為的子數組，定義兩個數組和

的關系數為；

（1）若， ，設是的含有兩個“元”的子數組，求

的最大值；

（2）若， ，且， 為的含有三個“元”

的子數組，求的最大值；

（3）若數組中的“元”滿足，設數組 含有

四個“元”，且，求與的所有含有三個“元”

的子數組的關系數的最大值；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中， ， ， 是的中點，△是等腰三角形， 為的中點， 為上一點；

（1）若∥平面，求；

（2）平面將三棱柱分成兩個部分，求含有點的那部分體積；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數fA（x）的定義域為A=[a，b），且fA（x）=（ + ﹣1）2﹣ +1，其中a，b為任意正實數，且a＜b．
（1）求函數fA（x）的最小值和最大值；
（2）若x1∈Ik=[k2 ， （k+1）2），x2∈Ik+1=[（k+1）2 ， （k+2）2），其中k是正整數，對一切正整數k，不等式 （x1）+ （x2））＜m都有解，求m的取值范圍；
（3）若對任意x1 ， x2 ， x3∈A，都有 ， ， 為三邊長構成三角形，求 的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C所對的邊長，且acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的值；
（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（文）已知點D（1， ）在雙曲線C： =1（a＞0，b＞0）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是 x+y=0．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（0，1）且斜率為k的直線l與雙曲線C有兩個不同交點，求實數k的取值范圍；
（3）設（2）中直線l與雙曲線C交于A、B兩個不同點，若以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，求實數k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數有4個零點，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數解析式是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖①，在矩形中， ， 是的中點，將三角形沿翻折到圖②的位置，使得平面 平面.

（1）在線段上確定點，使得平面，并證明；

（2）求與所在平面構成的銳二面角的正切值.

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