設函數
，其中
為自然對數的底數.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）記曲線
在點
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣東省揭陽市高三學業水平考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
設函數
，其中
，
為正整數，
、
、
均為常數，曲線
在
處的切線方程為
.
（1）求、、的值；
（2）求函數
的最大值；
（3）證明：對任意的
都有
.（
為自然對數的底）
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年江西省七校高三上學期第一次聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
，其中a>0.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若直線
是曲線
的切線，求實數a的值；
（Ⅲ）設
，求
在區間
上的最大值（其中e為自然對的底數）。
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省高三12月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（滿分１5分）設函數
，
，（其中
為自然底數）；
（Ⅰ）求
（
）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函數
使得
且
對一切恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）數列
中，
，
，求證：
。
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年四川省成都市模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
其中
為自然對數的底數，
.(Ⅰ)設
，求函數
的最值；（Ⅱ）若對于任意的
，都有
成立，求
的取值范圍.
【解析】第一問中，當
時，
，
．結合表格和導數的知識判定單調性和極值，進而得到最值。
第二問中，∵
，
，
∴原不等式等價于：
,
即
, 亦即
分離參數的思想求解參數的范圍
解：（Ⅰ)當時，，．
當在
上變化時，
，
的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
－ |
|
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
1／e |
∴
時，
，
．
(Ⅱ)∵，，
∴原不等式等價于：
,
即, 亦即．
∴對于任意的
，原不等式恒成立,等價于對
恒成立,
∵對于任意的時, 
（當且僅當
時取等號）．
∴只需
，即
，解之得
或
.
因此，的取值范圍是
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，
， ……………2分
，得
， ……………3分
上，
，
在區間
上，
，
，
處切線為
. ……………7分
，與
， ……………9分
， ……………10分
， ……………12分
上，函數
單調遞增，在區間
上，函數
時，
，
. ……………14分
，函數
（其中
為自然對數的底數）． 
在區間
上的最小值； 
，當
時，若對任意
，存在
，使得
，求實數
的取值范圍．
