Question

【題目】在“出彩中國人”的一期比賽中，有6位歌手（1～6）登臺演出，由現場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星，各家媒體獨立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另在2號至6號中隨機的選2名；媒體乙不欣賞2號歌手，他必不選2號；媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號歌手中隨機的選出3名．
（1）求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率；
（2）X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數之和，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，

事件B表示“媒體乙選中3號歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號歌手”，

P（A）= = ，P（B）= = ，

媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率：

P（A ）=P（A）（1﹣P（B））= = ．

（2）解：P（C）= ，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，

P（X=0）=P（ ）=（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= ，

P（X=1）=P（A ）+P（ ）+P（ ）

= +（1﹣ ）× = ，

P（X=2）=P（AB ）+P（A ）+P（ ）= +（1﹣ ）× = ，

P（X=3）=P（ABC）= = ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

EX= =

【解析】（1）設A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，事件B表示“媒體乙選中3號歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式能求出媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率．（2）先由等可能事件概率計算公式求出P（C），由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．