Question

【題目】已知函數，。

（Ⅰ）若 ，求的值；

（Ⅱ）討論函數的單調性。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】

(Ⅰ)先求出f(x)的導數f′(x)，再根據，即可求得的值；

(Ⅱ)由題意可知,f(x)的定義域為(0,+∞)，，令f′(x)=0,得x1=1,x2=a1.據此分類討論函數的單調性即可.

(Ⅰ)由題意可得：，故，∴.

(Ⅱ)∵函數，其中a>1，

∴f(x)的定義域為(0,+∞)，，

令f′(x)=0,得x1=1,x2=a1.

①若a1=1,即a=2時,，故f(x)在(0,+∞)單調遞增.

②若0<a1<1，即1<a<2時，

由f′(x)<0得，a1<x<1；

由f′(x)>0得，0<x<a1，或x>1.

故f(x)在(a1,1)單調遞減,在(0,a1),(1,+∞)單調遞增.

③若a1>1，即a>2時，

由f′(x)<0得,1<x<a1;由f′(x)>0得，0<x<1，或x>a1.

故f(x)在(1,a1)單調遞減,在(0,1),(a1,+∞)單調遞增.

綜上可得,當a=2時,f(x)在(0,+∞)單調遞增；

當1<a<2時,f(x)在(a1,1)單調遞減,在(0,a1),(1,+∞)單調遞增；

當a>2時,f(x)在(1,a1)單調遞減,在(0,1),(a1,+∞)單調遞增.