Question

【題目】如圖，在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB 3 ， AA1 4 ， M 為 AA1 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿棱柱側面經過棱 CC1 到 M 點的最短路線長為 ，設這條最短路線與 CC1 的交點為 N 。求：

（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

（2） PC 和 NC 的長；

（3）平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） PC 2 ， NC ；（3）

【解析】

（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對角線長．

（2）在側面展開圖中三角形MAP1是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．

（3）補形，找出兩面的交線，在特殊的位置作出線面角，如圖2．二面角易求．

解：（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為

（2）如圖1，將側面BB1C1C繞棱CC1旋轉120°使其與側面AA1C1C在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點P沿棱柱側面經過棱CC1到點M的最短路線

圖1

設PC＝x，則P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22＝29

求得x＝2

∴PC＝P1C＝2

∵

∴

（3）如圖2，連接PP1，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，連接CH，由三垂線定理得，CH⊥PP1

圖2

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）

在Rt△PHC中，∵，∴

在Rt△NCH中，

故平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值為