Question

【題目】橢圓的經過中心的弦稱為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點的軌跡為一條線段，稱為該直徑的共軛直徑，已知橢圓的方程為.

（1）若一條直徑的斜率為，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；

（2）若橢圓的兩條共軛直徑為和，它們的斜率分別為，證明：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）利用點差法計算. 設斜率為的與直徑平行的弦的端點坐標分別為，，

該弦中點為，將坐標代入橢圓方程，作差，然后化簡得，即直徑的共軛直徑所在的直線方程為；（2）四邊形顯然為平行四邊形，聯立直線的方程和橢圓的方程，分別求得四點的坐標分別為，，，，然后利用兩點間距離公式和點到直線距離公式，求得面積為.

試題解析：

（1）設斜率為的與直徑平行的弦的端點坐標分別為，，

該弦中點為，則有，，

相減得：，

由于，，且，所以得：，

故該直徑的共軛直徑所在的直線方程為.

（2）橢圓的兩條共軛直徑為和，它們的斜率分別為，

四邊形顯然為平行四邊形，設與平行的弦的端點坐標分別為，，

則，，而，，

，故，

由得的坐標分別為，

故，同理的坐標分別為，

設點到直線的距離為，四邊形的面積為,

所以，，

則，為定值.