【題目】已知橢圓
的中心在原點，短軸長為
，點
在橢圓上．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若斜率為
的直線
與橢圓
交于
， 
兩點， 
為弦
中點，求點
的軌跡方程．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】試題分析：（1）由橢圓的短軸長可求出
的值，將點
代入到橢圓方程可得
的值，進而可得橢圓的標準方程；（2）設弦所在直線的方程為
，A點坐標為
，B點坐標為
，弦的中點坐標為
，聯立直線與橢圓的方程，運用韋達定理和中點坐標公式得
，代入直線得
，故而得到
滿足的關系式，結合點在橢圓內得到
的范圍，從而得最后結果.
試題解析：（1）依題意， 
，則設橢圓方程為
；
因為橢圓過
，所以
，即
，
所以橢圓方程為
．
（2）依題意，設斜率為
的弦所在直線的方程為
，A點坐標為
，B點坐標為
，弦的中點坐標為
，則
消去
，得
， ∴
，即
， 
， 兩式消掉
，得
；又弦的中點在橢圓內部，所以
；故平行弦中點軌跡方程為： 
．
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的經過中心的弦稱為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點的軌跡為一條線段，稱為該直徑的共軛直徑，已知橢圓的方程為
.
（1）若一條直徑的斜率為
，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；
（2）若橢圓的兩條共軛直徑為
和
，它們的斜率分別為
，證明：四邊形
的面積為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C經過點A(1，3) ，B(4，2)，且圓心在直線l：x－y－1＝0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設P是圓D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一點，過點P作圓C的兩條切線PM，PN，M，N為切點，試求四邊形PMCN面積S的最小值及對應的點P坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0，A、B兩點極坐標分別為（1，π）、（1，0）．
（1）求曲線C的參數方程；
（2）在曲線C上取一點P，求|AP|2+|BP|2的最值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：
男 | 女 | 總計 | |
愛好 | 40 | 20 | 60 |
不愛好 | 20 | 30 | 50 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
由 
算得， 
．
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參照附表，得到的正確結論是（ ）
A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”
B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”
C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某服裝廠生產一種服裝，每件服裝成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，規定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低
元，根據市場調查，銷售商一次訂購不會超過600件.
（1）設一次訂購
件，服裝的實際出廠單價為
元，寫出函數
的表達式；
（2）當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中， 
所對的邊分別為
，且
.
(1)求角
的大��；
(2)若
， 
， 
為
的中點，求
的長．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】試題分析：（1）由已知，利用正弦定理可得
a2＝
b2＋
c2－2b，再利用余弦定理即可得出cosA，結合A的范圍即可得解A的值．
（2）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．
試題解析：
(1)因為
asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，
由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c，
整理得a2＝c2－2bc，
由余弦定理得cos A＝
＝
＝
，
因為A∈(0，π)，所以A＝
.
(2)由cos B＝
，得sin B＝
＝
＝
，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－
＝－
，
由正弦定理得b＝
＝
＝2，
所以CD＝
AC＝1，
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝(
)2＋12－2×1××
＝13，
所以BD＝
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
在
處的切線經過點
（1）討論函數
的單調性；
（2）若不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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