Question

【題目】如圖，已知在矩形中，為邊的中點，將沿直線折起到（平面）的位置，為線段的中點.

（1）求證：平面；

（2）已知，當平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）延長與相交于點,連接，根據中位線證明，得到證明.

（2）證明，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，計算平面的一個法向量為，根據夾角公式計算得到答案.

（1）延長與相交于點,連接,

∵為邊的中點，四邊形為矩形，

∴,,∴為的中位線，∴為線段的中點，

∵為線段的中點，∴∵平面，平面,

∴平面.

（2）∵,為邊的中點，∴,即,

取線段的中點,連接,,則由平面幾何知識可得,,

又∵四邊形為矩形，,為邊的中點，

∴,,

∵平面平面，平面平面,,

∴平面，

∵平面，∴,

∴以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則,,,,,,,,

設平面的一個法向量為，則，即，

不妨取，則，，即，

設直線與平面所成角為，則

，

∴直線與平面所成角的正弦值為.