Question

【題目】已知函數，．

（1）若.

（�。┣笄�線在點處的切線方程；

（ⅱ）求函數在區間內的極大值的個數．

（2）若在內單調遞減，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）1；（2）．

【解析】

（1）（�。┣蟪鰧Ш瘮�，得到與，利用點斜式得到直線的方程；（ⅱ）研究函數在區間內單調性，結合極值的定義得到答案；

（2）由題可知，其中，分兩類情況：與，

結合函數的單調性與極值即可得到實數的取值范圍．

（1）（�。┮驗�，

所以，．

又因為，

所以曲線在點處的切線方程為，

化簡得．

（ⅱ）當時，，單調遞增，此時無極大值．

當時，設，則，

所以在內單調遞減．

又因為， ，

所以在內存在唯一的，使得．

當變化時，，的變化如下表

		0
	↗		↘

所以在內單調遞增，在內單調遞減，此時有唯一極大值．

綜上所述，在內的極大值的個數為．

（2） 由題可知，其中．

當時，，故在內單調遞減；

下面設．

對于，，且，

所以．

所以當時，．

設，，

則．

所以在上單調遞減．

， ．

當時，即時，，對，，

所以，在內單調遞增，不符合題意．

當時，即時，，，

所以，使，

因為在內單調遞減，

所以對，，所以．

所以在內單調遞增，不符合題意．

所以當時，在內不單調遞減．

綜上可得，

故的取值范圍為．