Question

【題目】已知動點P到直線的距離與到點的距離之比為.

（1）求動點P的軌跡；

（2）直線與曲線交于不同的兩點A,B(A,B在軸的上方)：

①當A為橢圓與軸的正半軸的交點時，求直線的方程；

②對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)動點P的軌跡為：，是中心在原點、焦點在軸、長軸長為2、短軸長為2的橢圓；(2) ①，②存在定點，滿足題意，證明見解析.

【解析】

(1)利用點到直線的距離公式和兩點之間距離公式，化簡整理即可得出動點P的軌跡；

(2) ①求直線FB：和橢圓聯立求B點坐標，然后利用兩點式求直線方程；

②設直線方程和橢圓聯立消元化簡，由得，然后利用韋達定理代入化簡可得，代入直線方程即可求得答案.

(1)設點P()，則P點到直線的距離，P點到點的距離，由題意，得，化簡整理得：

所以動點P的軌跡為：，是中心在原點、焦點在軸、長軸長為2、短軸長為2的橢圓.

(2)由題意直線與曲線交于不同的兩點A,B(A,B在軸的上方)，可得直線的斜率存在，設直線的方程為，由，可得.

①由(1)得曲線，則得A(0,1)，F(-1,0)，所以，，所以直線FB的方程為,由聯立消得解得或，

代入，可得交點坐標：(0,-1)，()，由B點在軸上方則可得B點坐標為()，則由兩點式可得直線：，化簡得.

②存在定點，滿足題意，證明如下：

設A()，B()

由消化簡得

則，

所以由，，可得

化簡得，代入和

化簡得，所以直線方程為：，可得直線恒過點，

故無論如何變化，滿足題意的直線恒過定點.