Question

【題目】已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）.

（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

（2）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于、兩點，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

(1)根據極坐標與直角坐標方程的轉化,參數方程與普通方程的轉化即可得直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;

(2)根據直線與直線垂直且過,可得直線的參數方程.將直線的參數方程與曲線聯立,結合韋達定理及參數方程的幾何意義即可求得.

(1)由直線極坐標方程為,即,

根據極坐標與直角坐標的互化公式,可得直線直角坐標方程：,

由曲線的參數方程為（為參數）,則,

整理得橢圓的普通方程為.

(2)由已知直線與垂直,所以直線的傾斜角為,

直線的參數方程為,即（為參數）,

把直線的參數方程代入

化簡得

設,是上述方程的兩個實根,則有

又直線過點

故由上式及的幾何意義得