【題目】如圖，點
在以
為直徑的圓
上，
垂直與圓所在平面，
為
的垂心.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】試題分析：（1）延長
交
于點
，由重心性質及中位線性質可得
，再結合圓的性質得
，由已知
，可證
平面
，進一步可得平面
平面
（2）以點
為原點， 
， 
， 
方向分別為
， 
， 
軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用二面角與二個半平面的法向量的夾角間的關系可求二面角的余弦值．
試題解析：（1）如圖，延長
交
于點
.因為
為
的重心，所以
為
的中點.
因為
為
的中點，所以
.因為
是圓
的直徑，所以
，所以
.
因為
平面
， 
平面
，所以
.又
平面
， 
平面
= 
，所以
平面
.即
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
（2）以點
為原點， 
， 
， 
方向分別為
， 
， 
軸正方向建立空間直角坐標系
，則
， 
， 
， 
， 
， 
，則
， 
.平面
即為平面
，設平面
的一個法向量為
，則
令
，得
.過點
作
于點
，由
平面
，易得
，又
，所以
平面
，即
為平面
的一個法向量.
在
中，由
，得
，則
， 
.
所以
， 
.所以
.
設二面角
的大小為
，則
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】四面體ABCD中，AB和CD為對棱．設AB=a，CD=b，且異面直線AB與CD間的距離為d，夾角為θ．
（Ⅰ）若θ= 
，且棱AB垂直于平面BCD，求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）當θ= 時，證明：四面體ABCD的體積為一定值；
（Ⅲ）求四面體ABCD的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為40秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為50秒（沒有兩燈同時亮），當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？
（1）紅燈；
（2）黃燈；
（3）不是紅燈．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知D是以點A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）為頂點的三角形區域（包括邊界及內部）．
（1）寫出表示區域D的不等式組；
（2）設點B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直線4x﹣3y﹣a=0的異側，求a的取值范圍；
（3）若目標函數z=kx+y（k＜0）的最小值為﹣k﹣6，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】20名同學參加某次數學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中
的值；
（Ⅱ）分別求出成績落在
， 
中的學生人數；
（Ⅲ）從成績在
的學生中任選2人，求此2人的成績都在
中的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知橢圓
過點
， 
， 
分別為橢圓
的右、下頂點，且
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設點
在橢圓
內，滿足直線
， 
的斜率乘積為
，且直線
， 
分別交橢圓
于點
， 
．
(i) 若
， 
關于
軸對稱，求直線
的斜率；
(ii) 求證： 
的面積與
的面積相等．
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