【題目】設函數.
(1)試討論函數的單調性;
(2)如果且關于
的方程
有兩解
,
(
),證明
.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)求解函數的導函數,分類討論可得:
①若,則當
時,數
單調遞減,當
時,
函數
單調遞增;
②若,函數
單調遞增;
③若,則當
時,函數
單調遞減,當
時,函數
單調遞增.
(2)原問題即證明,構造新函數
,結合新函數的性質和題意即可證得結論.
試題解析:
(1)由,可知
.
因為函數的定義域為
,所以,
①若,則當
時,
,函數
單調遞減,當
時,
,函數
單調遞增;
②若,則當
在
內恒成立,函數
單調遞增;
③若,則當
時,
,函數
單調遞減,當
時,
,函數
單調遞增.
(2)要證,只需證
.
設
,
因為,
所以為單調遞增函數.
所以只需證,
即證,
只需證
.(*)
又,
,
所以兩式相減,并整理,得
.
把
代入(*)式,
得只需證,
可化為.
令,得只需證
.
令(
),
則
,
所以在其定義域上為增函數,
所以.
綜上得原不等式成立.
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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn , 滿足3an﹣2Sn﹣1=0.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)bn= ,數列{bn}的前n項和為Tn , 求f(n)=
(n∈N+)的最大值.
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【題目】某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.為掌握各類超市的營業情況,現按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本,應抽取中型超市( )
A.70家
B.50家
C.20家
D.10家
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【題目】某紡紗廠生產甲、乙兩種棉紗,已知生產甲種棉紗1噸需耗一級籽棉2噸、二級籽棉1噸;生產乙種棉紗1噸需耗一級籽棉1噸,二級籽棉2噸.每1噸甲種棉紗的利潤為900元,每1噸乙種棉紗的利潤為600元.工廠在生產這兩種棉紗的計劃中,要求消耗一級籽棉不超過250噸,二級籽棉不超過300噸.問甲、乙兩種棉紗應各生產多少噸,能使利潤總額最大?并求出利潤總額的最大值.
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【題目】某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生,其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖,估計這次測試中數學成績的平均分、眾數、中位數分別是( )
A.73.3,75,72
B.72,75,73.3
C.75,72,73.3
D.75,73.3,72
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【題目】在三棱錐ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是邊長為2的正三角形,側棱AA1⊥底面ABC,AA1= ,P、Q分別是AB、AC上的點,且PQ∥BC.
(1)若平面A1PQ與平面A1B1C1相交于直線l,求證:l∥B1C1;
(2)當平面A1PQ⊥平面PQC1B1時,確定點P的位置并說明理由.S.
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