Question

【題目】已知，為橢圓的左右焦點，在以為圓心，1為半徑的圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于，兩點，過與垂直的直線交圓于，兩點，為線段的中點，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

(1) 由在以為圓心，1為半徑的圓上,可知圓的方程為,由此圓與軸相切,可得切點坐標為,則可得出,由由兩點間距離公式可求得即求出的值,進而求得,由此能求出橢圓的方程.

(2)因為 設，則,與橢圓聯立，得,由此利用弦長公式可求得、又.可知,到的距離即到的距離,利用點到直線距離公式即可求得距離,通過面積公式可得,令,構造函數化簡、借助單調性即可求出面積的取值范圍.

(1) 圓的方程為,此圓與軸相切，則切點為即,

所以,又

所以.

所以橢圓的方程為.

(2) 當平行軸的時候，與圓無公共點，從而不存在;設,則.

由,消去得

則又圓心到的距離得.又.到的距離即到的距離，設為,即.

面積令

則

面積的取值范圍為.