Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2 ．
（Ⅰ）若函數g（x）=f（x）﹣ax在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的極小值；
（Ⅲ）設F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函數F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．問：函數F（x）在點（x0 ， F（x0））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，

由題意知，g′（x）≥0，對任意的x∈（0，+∞）恒成立，即

又∵x＞0， ，當且僅當 時等號成立

∴ ，可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，令t=ex，則t∈[1，2]，則

h（t）=t3﹣3at，

由h′（t）=0，得 或 （舍去），

∵ ，∴

若 ，則h′（t）＜0，h（t）單調遞減；若 ，則h′（t）＞0，h（t）單調遞增

∴當 時，h（t）取得極小值，極小值為

（Ⅲ）設F（x）在（x0，F（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx

結合題意，有

①﹣②得

所以 ，由④得

所以

設 ，⑤式變為

設 ，

所以函數 在（0，1）上單調遞增，

因此，y＜y|u=1=0，即 ，也就是 此式與⑤矛盾

所以F（x）在（x0，F（x0））的切線不能平行于x軸

【解析】（1）根據f（x）的解析式，寫出g（x）的解析式，求導，由于g（x）單調遞增，可得出在恒大于零，進行參變分離求出a的取值范圍；（2）令進行換元，討論t的范圍，求出h（t）的單調區間，找出函數的最小值；（3）先設F（x）在的切線平行于x軸由題意得出方程組，換元研究單調性，證出在（0,1）上成立，從而與題設矛盾，故函數F（x）在處的切線不平行于x軸。