Question

【題目】已知數列中，，且對任意正整數都成立，數列的前項和為.

（1）若，且，求；

（2）是否存在實數k，使數列是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項按某順序排列后成等差數列，若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由；

（3）若，求.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 滿足要求的實數有且僅有一個，；(3) ．

【解析】

（1）先根據等差中項判定數列類型，再求解的值；（2）假設存在滿足后，先計算通項公式，再考慮相鄰三項排列后成等差數然后計算的值，注意分類；（3）先化簡遞推公式，根據遞推公式進行奇偶分項討論.

(1)時，，，

所以數列是等差數列，

此時首項，公差，

數列的前項和是，

故，得；

(2)設數列是等比數列，則它的公比，

所以，，，

①若為等差中項，則，即，

解得，不合題意；

②若為等差中項，則，即，

化簡得：，

解得,（舍去）；；

③若為等差中項，則，即，

化簡得：，解得；；

綜上可得，滿足要求的實數有且僅有一個，；

(3)則，

，，

當是偶數時，

，

當是奇數時，

，也適合上式，

綜上可得，．