Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在處切線方程；

（2）討論的單調區間；

（3）試判斷時的實根個數說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，函數的增區間是，減區間是；

當時，函數的增區間是，減區間是；

當時，函數的增區間是；

當時，函數的增區間是，減區間是;

（3）只有一個零點.

【解析】

（1）求出函數的導數，把代入，，代入導函數中，求出切線的斜率，求出切線方程；

（2），根據的正負性以及之間的大小關系，進行分類，確定的不同區間，求出不同區間下，函數的單調性；

（3）由（2）可知：當時，函數的增區間是，減區間是，求出函數的極大值、極小值，再判斷出當時，，由此可以判斷出函數的零點的情況.

（1），

當時，，，所以在處切線方程為

，化簡得：,

即.

（2）,函數的定義域為，

①當時，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；

②當時，當時，，函數單調遞增， 當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；

③當時，， 當時，函數單調遞增；

④當時，當時，，函數單調遞增， 當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；

綜上所述：

當時，函數的增區間是，減區間是；

當時，函數的增區間是，減區間是；

當時，函數的增區間是；

當時，函數的增區間是，減區間是.

（3）由（2）可知：當時，函數的增區間是，減區間是，

所以是極大值點，是極小值點，，，時，，所以時，的實根個數為1個.