Question

設數列{a_n} 的前n項和為S_n，滿足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數列{a_n+2ⁿ}是等比數列；
（3）證明：對一切正整數n，有++…+＜．

Answer 1

（1），，；（2）詳見解析；（3）詳見解析．

試題分析：（1）由，，成等差數列可得一等式：.為了求出，，，需再列兩個方程．在題設中，令，，便又得兩個方程，這樣解方程組即可．
（2）要證為等比數列，需證是一個常數．為此，需找到與.題設中是這樣一個關系式，顯然應消去只留，這就要用.
將中的換成得，兩式相減得：，所以．注意這里的大于等于2，所以還需要考慮的情況.
（3）涉及數列的和的不等式的證明，一般有以下兩種方法，一是先求和后放縮，二是先放縮后求和.
在本題中，應首先求出通項公式.由（2）可得．對這樣一個數列顯然不可能先求和，那么就先放縮.因為，所以，然后采用迭乘或迭代的方法，便可得，右邊是一個等比數列，便可以求和了.
試題解析：（1）因為，，成等差數列，所以……………………①
當時，，………………………………………………………②
當時，，………………………………………………③
所以聯立①②③解得，，，．
（2）由，得，
兩式相減得，所以．
因為，所以是首項為3，公比為3的等比數列．
（3）由（2）得，，即．因為，
所以，
所以當n≥2時，，，，…….，，兩邊同時相乘得：.
所以．