Question

【題目】已知數列中，, 且.

（1）求的值及數列的通項公式；

（2）令, 數列的前項和為, 試比較與的大小；

（3）令, 數列的前項和為, 求證: 對任意, 都有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時,，當時,；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）令，求得，同理令，求得.對兩邊除以，得到，利用累加法求得，所以；（2）化簡，則，.記函數，利用可得當時,；當時,；（3）化簡，故，利用放縮法，利用裂項求和法證得.

試題解析：

（1）當時，, 當時，,因為,所以,當時，由累加法得, 因為,所以時，有，即，又時，，故.

（2）時,,則.

記函數，所以,

則,所以.由于

,此時，,此時,

,此時,由于,故時，，此時.綜上所述，當時,;當時,.

（3）證明: 對于,有,

當時,.所以當時,

.且.故對得證.