Question

【題目】已知，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與軌跡交于點，與交于點，過作的垂直線交軸于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 直接法求軌跡方程，利用 化簡可得.

(2) 設直線的方程為與橢圓方程聯解，求出、點坐標，再利用垂直關系求出點坐標，計算得可證.

（1）設，則直線的斜率.直線的斜率，

依題意得，整理得，

所以點的軌跡的方程為.

（2）解法1：設直線的方程為，

聯立，消去整理得，

又，所以，即，，

易得，直線的斜率，

又，所以直線的方程為，

令得，所以直線的斜率，

又直線的斜率為，所以，所以.

解法2：設（其中），則直線，

令得，

所以直線的斜率.

又，所以直線的方程為，

所以直線的斜率，直線的斜率，

又，即，所以.

解法3：設直線，則直線的斜率，

，直線的斜率，

又，所以直線的方程為.

令得，

所以直線的斜率，所以