Question

【題目】如圖，在四棱柱為長方體，點是上的一點.

（1）若為的中點，當為何值時，平面平面；

（2）若， ，當時，直線與平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）時， 取得最大值1.

【解析】試題分析：（1）要使平面平面，只需平面.，只需，只需，因為為的中點，所以，所以；（2）建立空間直角坐標系，寫出直線與平面所成角的正弦，利用二次函數求其最大值即可.

試題解析：（1）要使平面平面，只需平面.

因為四棱柱為長方體，

所以平面，所以.

又因為，所以只需，

只需，只需∽，

因為，所以只需，

因為為的中點，所以，所以.

所以當時，平面平面.

（2）存在.理由如下：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，所以，

由得，則，

設平面的法向量為，則，

所以，取，則，

所以，

設直線與平面所成的角為，

則

令，則， ，

所以

所以當，即，時， 取得最大值1.