【題目】已知函數 (其中
是自然對數的底數)
(1)若 ,當
時,試比較
與2的大。
(2)若函數 有兩個極值點
,求
的取值范圍,并證明:
【答案】
(1)解:當 時,
,則
,令
,
由于 故
,于是
在
為增函數,所以
,即
在
恒成立,
從而 在
為增函數,故
(2)解:函數 有兩個極值點
,則
是
的兩個根,即方程
有兩個根,
設 ,則
,
當 時,
,函數
單調遞增且
;
當 時,
,函數
單調遞增且
;
當 時,
,函數
單調遞增且
;
要使方程 有兩個根,只需
,如圖所示
故實數 的取值范圍是
又由上可知函數 的兩個極值點
滿足
,由
得
.
由于 ,故
,所以
【解析】(1)根據導函數即可判斷f(x)在上的單調性,由單調性即可比較f(x)與2的大小,(2)先求導數 f ' ( x ),由題意知x 1 , x 2 , 是方程 f ' ( x )=0的兩個根,令
,利用導數得到函數
的單調區間,繼而可得到k的取值范圍,由 f ' ( x 1 ) = 0 得 k =
,又由f(x1)=-(x1-1)2+1,x1∈(0,1),即可得到0<f(x1)<1.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果
,那么函數
在這個區間單調遞增;(2)如果
,那么函數
在這個區間單調遞減,以及對函數的極值的理解,了解極值反映的是函數在某一點附近的大小情況.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】給出以下四個命題,其中所有真命題的序號為 .
①函數 在區間
上存在一個零點,則
的取值范圍是
;
②“ ”是“
成等比數列”的必要不充分條件;
③ ,
;
④若 ,則
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某廠為檢驗車間一生產線是否工作正常,現從生產線中隨機抽取一批零件樣本,測量尺寸(單位: )繪成頻率分布直方圖如圖所示:
(Ⅰ)求該批零件樣本尺寸的平均數 和樣本方差
(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);
(Ⅱ)若該批零件尺寸 服從正態分布
,其中
近似為樣本平均數
,
近似為樣本方差
,利用該正態分布求
;
(Ⅲ)若從生產線中任取一零件,測量尺寸為 ,根據
原則判斷該生產線是否正常?
附: ;若
,則
,
,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】我市某小學三年級有甲、乙兩個班,其中甲班有男生30人,女生20人,乙班有男生25人,女生25人,現在需要各班按男、女生分層抽取 的學生進行某項調查,則兩個班共抽取男生人數是 .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是偶函數,而y=f(x+1)是奇函數,且對任意0≤x≤1,都有f(x)≥0,f(x)是增函數,則a=f(2010),b=f( ),c=﹣f(
)的大小關系是( )
A.b<c<a
B.c<b<a
C.a<c<b
D.a<b<c
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左焦點
和上頂點
在直線
上,
為橢圓上位于
軸上方的一點且
軸,
為橢圓
上不同于
的兩點,且
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線與
軸交于點
,求實數
的取值范圍.
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