Question

在等差數列{a_n}中,a₁=3,其前n項和為S_n,等比數列{b_n}的各項均為正數,b₁=1,公比為q,且b₂+S₂=12,q=.
(1)求a_n與b_n.
(2)證明:≤++…+<.

Answer 1

(1) a_n=3n,b_n=3^n-1   (2)見解析

(1)設{a_n}的公差為d,
因為所以
解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故a_n=3+3(n-1)=3n,b_n=3^n-1.
(2)因為S_n=,
所以== (-).
故++…+
=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]
=(1-).
因為n≥1,所以0<≤,于是≤1-<1,
所以≤(1-)<.
即≤++…+<.