Question

【題目】某公司準備上市一款新型轎車零配件，上市之前擬在其一個下屬4S店進行連續30天的試銷，定價為1000元/件.

（1）設日銷售40個零件的概率為，記5天中恰有2天銷售40個零件的概率為，寫出關于的函數關系式，并求極大值點.

（2）試銷結束后統計得到該4S店這30內的日銷售量（單位：件）的數據如下表：

日銷售量	40	60	80	100
頻數	9	12

其中，有兩個數據未給出.試銷結束后，這款零件正式上市，每件的定價仍為1000元，但生產公司對該款零件不零售，只提供零件的整箱批發，大箱每箱有55件，批發價為550元/件；小箱每箱有40件，批發價為600元/件，以這30天統計的各日銷售量的頻率作為試銷后各日銷售量發生的概率.該4S店決定每天批發兩箱，若同時批發大箱和小箱，則先銷售小箱內的零件，同時根據公司規定，當天沒銷售出的零件按批發價的9折轉給該公司的另一下屬4S店，假設日銷售量為80件的概率為，其中為（1）中的極大值點.

（i）設該4S店批發兩大箱，當天這款零件的利潤為隨機變量；批發兩小箱，當天這款零件的利潤為隨機變量，求和；

（ii）以日利潤的數學期望作為決策依據，該4S店每天應該按什么方案批發零件？

Answer 1

【答案】（1），.（2）（i）=2.526萬元，=2.28萬元；（ii）兩大箱

【解析】

（1）利用二項式定理求出關于函數，對函數進行求導，利用導數判斷函數的單調性求出極大值點即可；

（2）（i）利用（1）中的值，分別求出日銷售量為40件，60件，80件，100件的概率，然后求出批發為兩大箱時所對應的利潤，代入數學期望公式求出；求出批發為兩小箱時所對應的利潤，代入數學期望公式求出即可；

（ii）設當該4S店批發一大箱和一小箱時，成本為54250元，當天這款零件的利潤為隨機變量，分別求出日銷售量分別為40件，60件，80件，100件的利潤，代入數學期望公式求出，比較、和的大小即可.

（1）由題意可得，，

則，

當時，；當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以當時，函數有極大值，故.

（2）由題意可知，日銷售量為80件的概率為，

日銷售量為60件的概率為，日銷售量為40件的概率為，

所以日銷售量為100的概率為.

（i）批發兩大箱，則批發成本為60500元，

當日銷售量為40件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為60件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為80件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為100件時，利潤為（萬元），

所以（萬元）.

若批發兩小箱，則批發成本為48000元，

當日銷售量為40件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為60件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為80件或100件時，利潤為（萬元），

所以（萬元）；

（ii）當該4S店批發一大箱和一小箱時，成本為54250元，當天這款零件的利潤為隨機變量，

當日銷售量為40件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為60件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為80件時，利潤為（萬元）；

當日銷售量為100件時，利潤為（萬元）；

所以（萬元），

所以，故該4S店每天應該批發兩大箱.