Question

【題目】已知f（x）= （x∈R），若f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x）．
（1）求實數a的值；
（2）證明f（x）是R上的單調減函數（定義法）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= （x∈R），若f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），故函數f（x）為奇函數，

故有f（0）=0，即 =0，∴a=﹣1，f（x）= =﹣ =﹣1+

（2）證明：在R上任取兩個數x1、x2，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（﹣1+ ）﹣（﹣1+ ）= ，

∵x1＜x2，∴0＜ ＜ ，∴ ﹣ ＞0， +1＞0， +1＞0，

∴ ＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），

故函數f（x）在R上單調遞減

【解析】（1）由題意可得函數f（x）為奇函數，故有f（0）=0，求得a=﹣1，可得f（x）的解析式．（2）在R任取兩個實數x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 證明f（x1）＞f（x2），即可證得f（x）在R上單調遞減．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．