Question

【題目】已知函數

（1）當時，證明函數在區間上有三個極值點；

（2）若對于恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求導，令，用導數法得到其單調性，再結合零點存在定理得到在區間有三個零點，然后用極值點的定義求解.

（2）求導，令，則，由（1）知，再分和兩種情況討論求解.

（1）當時，，

則.

令，

當時，，當時，，

故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以.

又，故在區間及區間內各有唯一零點.

由此可知，在區間有三個零點：，

當時，，當時，，當時，，當時，，

從而知在上有三個極值點.

（2），

令，

則，由（1）的證明過程知.

當時，即時，有時，；時，有，

故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，從而知時，恒有.

當時，.但，

由在上單調遞減，故在上有唯一零點，

從而知在上有唯一零點，且當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，

矛盾，舍去.

綜上，所求a的取值范圍是.