Question

【題目】若函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x2+2x．
（1）寫出函數f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），求函數g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＞0，則﹣x＜0．又因為當x≤0時，f（x）=x2+2x，

所以f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，又因為f（﹣x）=f（x）．

所以x＞0時，f（x）=x2﹣2x．

所以f（x）=

（2）解：函數g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），f（x）= ．

∴g（x）=x2+2（1﹣a）x+2．x∈[1，2]，

①當a﹣1≤1時，即a≤2，g（x）min=g（1）=5﹣2a

②當1＜a﹣1＜2時，即2＜a＜3，g（x）min=g（a﹣1）=﹣a2+2a+1

③當a﹣1≥2時，即a≥3，g（x）min=g（2）=10﹣4a

綜上：h（a）=

【解析】（1）利用函數的奇偶性曲線函數的解析式即可．（2）利用分段函數以及二次函數的性質，通過分類討論求解函數的最小值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�)，還要掌握函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關知識才是答題的關鍵．